\chead{ \textbf{ \begin{Large} Universidade Federal de Goi\'as\\ \end{Large} \begin{large}INSTITUTO DE MATEM\'ATICA E ESTATISTICA\end{large}\\ Campus Samambaia - 74001-970 - Goi\^ania\\ http://www.ime.ufg.br - (62) 3521 1742 - (62) 3521-1208 - secretaria.ime@ufg.br } } \begin{center} \LARGE{\textbf{Plano de Ensino}} \end{center} \PlanSection{01. Dados de Identifica\c{c}\~ao da Disciplina:} { \begin{center}\begin{small} \begin{tabular}{|l|p{5cm}|l|p{5cm}|} \hline \textbf{Semestre:} & 2025.2 & \textbf{Curso:} & Engenharia Mec\^anica \\ \hline \textbf{Turma:} & A & \textbf{C\'odigo Componente:} & IME0080 \\ \hline \textbf{Componente:} & \uppercase{C\'alculo 2a} & \textbf{UA Respons\'avel:} & IME \\ \hline \textbf{Carga Hor\'aria:} & 96 & \textbf{UA Solicitante:} & EMC \\ \hline \textbf{Te\'orica/Pr\'atica:} & 96/- & \textbf{EAD/PCC:} & -/- \\ \hline \textbf{Hor\'arios:} & 246T34 & \textbf{Docente:} & Prof(a) Marina Tuyako Mizukoshi \\ \hline \end{tabular} \end{small}\end{center} } \PlanSection{02. Ementa:} { Sequ\^encias e s\'eries num\'ericas. S\'eries de pot\^encia, converg\^encia. Fun\c{c}\~oes de v\'arias vari\'aveis. Limite e Continuidade. No\c{c}\~oes sobre qu\'adricas. Fun\c{c}\~oes diferenci\'aveis. Derivadas parciais e direcionais. F\'ormula de Taylor. M\'aximos e m\'{\i}nimos. Integrais m\'ultiplas. Mudan\c{c}a de Coordenadas. Aplica\c{c}\~oes. } \PlanSection{03. Programa:} { 1. Sequ\^encias e s\'eries num\'ericas. Sequ\^encias. S\'eries. Converg\^encias de S\'eries. S\'eries de Pot\^encias. Intervalo e Raio de Converg\^encia. S\'erie de Taylor. 2. Fun\c{c}\~oes de v\'arias vari\'aveis reais. No\c{c}\~oes sobre qu\'adricas. Defini\c{c}\~ao. Gr\'afico e curva de n\'{\i}vel. Superf\'{\i}cies de n\'{\i}vel. Limite e continuidade. Derivadas parciais. Plano tangente e reta normal. Diferenciabilidade. Diferencial. Regra da cadeia. Deriva\c{c}\~ao Impl\'{\i}cita. Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente. 3. M\'aximos e m\'{\i}nimos. F\'ormula de Taylor. M\'aximos e m\'{\i}nimos. Pontos cr\'{\i}ticos. Pontos de m\'aximo e m\'{\i}nimo locais. M\'etodo dos Multiplicadores de Lagrange. 4. Integrais m\'ultiplas. Defini\c{c}\~ao. Propriedades. Integrais duplas e triplas. \'Areas e Volumes. Mudan\c{c}a de coordenadas nas integrais m\'ultiplas. Aplica\c{c}\~oes. } \PlanSection{04. Cronograma:} { OBS: O conte\'udo abaixo destinado, a cada dia, trata-se de uma estimativa, podendo variar conforme o desenrolar do curso ou caso o professor julgue conveniente. Parte 1 (Per\'{\i}odo de 11/08/25 a 15/09/25): Aula 1: Apresenta\c{c}\~ao do plano de ensino. Introdu\c{c}\~ao \`as sequ\^encias. Aula 2: Sequ\^encias mon\'otonas e limitadas. Aula 3 e 4: Sequ\^encias mon\'otonas e limitadas.Propriedades de sequ\^encias. Aula 5 e 6: Introdu\c{c}\~ao a teoria de s\'eries. Teste da Integral e estimativas. Aula 7: Testes de compara\c{c}\~ao. Aula 8: S\'eries alternadas. Converg\^encia absoluta. Aula 9: Teste da Raz\~ao, teste da Raiz e converg\^encia absoluta. Aula 10: S\'eries de pot\^encias. Raio e intervalo de converg\^encia. Aula 11: S\'erie de Taylor. Aula 12 : Representa\c{c}\~ao de Fun\c{c}\~oes como s\'eries de pot\^encias: deriva\c{c}\~ao e integra\c{c}\~ao das s\'eries de pot\^encias. Aula 13: Representa\c{c}\~ao de Fun\c{c}\~oes como s\'eries de pot\^encias: deriva\c{c}\~ao e integra\c{c}\~ao das s\'eries de pot\^encias. Aula 14: Aula de d\'uvidas. AULA 15: Prova P1. obs. 1: Nas aulas 1 a 15 prev\^e-se outras atividades de avalia\c{c}\~ao as quais ser\~ao definidas ap\'os uma conversa com a turma. Dentre as quais prev\^e-se a solu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios em sala de aula e/ou extra-classe com peso 1 e testes em sala, com peso de um ponto extra at\'e totalizar ao m\'aximo de 10 pontos. As datas das atividades a serem desenvolvidas ser\~ao definidas de acordo com o desenvolvimento da teoria, sendo definidas pelo menos com uma semana de anteced\^encia. Parte 2: Per\'{\i}odo previsto (Per\'{\i}odo de 15/09/25 a 12/11/25) Aula 16: Representa\c{c}\~ao de Fun\c{c}\~oes como s\'eries de pot\^encias: deriva\c{c}\~ao e integra\c{c}\~ao das s\'eries de pot\^encias. Aula 17: Equa\c{c}\~oes de retas e planos. No\c{c}\~oes de qu\'adricas Aula 18:No\c{c}\~oes de qu\'adricas. Dom\'{\i}nio de fun\c{c}\~oes de mais de uma vari\'avel. Aula 19: Imagem e gr\'aficos de fun\c{c}\~oes \`a 2 vari\'aveis reais a valores reais. Aula 20: Fun\c{c}\~oes de v\'arias vari\'aveis, curvas de n\'{\i}veis. Aula 21: Limites e continuidade. Aula 22: Limites e continuidade. Aula 23: Derivadas parciais. Regra da cadeia. Aula 24: Derivadas parciais. Regra da cadeia. Aula 25: Exerc\'{\i}cios no Python ou no Geogebra de gr\'aficos e curvas de n\'{\i}veis de fun\c{c}\~oes de duas ou tr\^es vari\'aveis. Aula 26: Derivadas parciais de ordem superior. Condi\c{c}\~oes de Schwarz. Aula 27: Derivadas direcionais. Aula 28: Derivadas direcionais. Aula 29: Plano tangente de superf\'{\i}cies de n\'{\i}vel e plano tangente de fun\c{c}\~oes a 2 vari\'aveis. Aula 30: Fun\c{c}\~oes diferenci\'aveis. Aula 31: Fun\c{c}\~oes diferenci\'aveis. Aula 32: Problemas de extremos sem restri\c{c}\~oes. Aula 33: Aula de exerc\'{\i}cios. Aula 34: Prova escrita P2. Repete-se a obs. 1 para Parte 2. N\~ao haver\'a aula presencial nos dias 20/10/25 e 22/10/25). Parte 3(03/11/25 a 12/12/25) Aula 35: Problemas de extremos com restri\c{c}\~oes locais. Aula 36: Problemas de extremos com restri\c{c}\~oes locais. Aula 37: Multiplicadores de Lagrange com uma restri\c{c}\~ao. Aula 38: Multiplicadores de Lagrange com mais de uma restri\c{c}\~ao. Aula 39: Integrais em regi\~oes retangulares. Aula 40: Teorema de Fubinni. Integrais em regi\~oes gerais. Aula 41: Teorema de Fubinni. Integrais em regi\~oes gerais. Aula 42: \'Area e volumes. Aula 43: Mudan\c{c}a de coordenadas em integrais duplas. Aula 44: Mudan\c{c}a de coordenadas em integrais triplas. Aula 45: Coordenadas cil\'{\i}ndricas. Aula 46: Coordenadas esf\'ericas. Aula 47: Aula de exerc\'{\i}cios com utiliza\c{c}\~ao de software. Aula 48: Prova escrita P3 Repete-se a obs. 1 para Parte 3. No per\'{\i}odo de 04/11/25 a 07/11/25 n\~ao haver\'a aulas devido ao CONPEEX caso haja atividades no hor\'ario de aulas do evento . } \PlanSection{05. Objetivos Gerais:} { Estudar fun\c{c}\~oes \`a mais de uma vari\'avel; Estudar os conceitos fundamentais em paralelo as t\'ecnicas formais do c\'alculo; Estudar a rela\c{c}\~ao existente entre o c\'alculo diferencial e o integral. Ao t\'ermino do curso o aluno dever\'a estar apto a utilizar as ferramentas do c\'alculo diferencial e integral para a solu\c{c}\~ao de problemas de sua \'area espec\'{\i}fica e \'areas afins. Solu\c{c}\~ao de problemas aplicados com a utiliza\c{c}\~ao de python. } \PlanSection{06. Objetivos Espec\'{\i}ficos:} { Durante o curso, concomitante a an\'alise te\'orica ser\~ao feitas diversas aplica\c{c}\~oes dos conceitos desenvolvidos, e ao t\'ermino, o aluno dever\'a ser capaz de compreender e explorar as consequ\^encias dos t\'opicos abordados. O aluno dever\'a ser capaz de: 1)Compreender o conceito de fun\c{c}\~ao real a mais de uma vari\'avel real e sua interpreta\c{c}\~ao gr\'afica; 2) Aplicar o conceito de limites a fun\c{c}\~oes de mais de uma vari\'avel real; 3) Definir, interpretar e calcular as derivadas das fun\c{c}\~oes elementares; 4) Utilizar as derivadas parciais na resolu\c{c}\~ao de problemas de derivadas direcionais e de m\'aximos e de m\'{\i}nimos; 5)Calcular integrais m\'ultiplas e utiliz\'a-las em aplica\c{c}\~oes pr\'aticas. 6) Utilizar software e solu\c{c}\~ao de problemas aplicados como ferramenta auxiliar no estudo das teorias apresentadas. } \PlanSection{07. Metodologia:} { As aulas te\'oricas ser\~ao abordados essencialmente, utilizando-se a exposi\c{c}\~ao no quadro-giz e reflex\~ao de abordagens feitas pelo autor na resolu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios. Utiliza\c{c}\~ao do sigaa como ferramenta auxiliar ao ensino presencial. Proposi\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios individuais e/ou em grupo em sala ou extra classe para fixa\c{c}\~ao e an\'alise dos conte\'udos abordados, com a finalidade de desenvolver no aluno suas pr\'oprias habilidades e incentivar a criatividade na resolu\c{c}\~ao, propiciando ao aluno a oportunidade de utilizar racioc\'{\i}nios adquiridos anteriormente Testes individuais e exerc\'{\i}cios individuais e/ou em grupos(l\'{\i}deres auxiliando no desenvolvimento) quinzenais a serem entregues para que os alunos criem o h\'abito de estudo cont\'{\i}nuo dos temas abordados. Desenvolvimento de atividades em conjunto com o monitor da disciplina. Atendimento presencial e/ou online via a plataforma google meeting. Utilizar ferramentas computacionais como processo auxiliar para a resolu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios. Provas em segunda chamada poder\~ao ser solicitadas diretamente ao professor. As notas finais ser\~ao publicadas no sistema SIGAA e as parciais ser\~ao entregues aos interessados, em sala de aula ou na sala 206 do IME/UFG, ap\'os a corre\c{c}\~ao antes de pr\'oxima avalia\c{c}\~ao escrita $P_i$ a ser realizada. As atividades supervisionadas mencionadas no Art. 16 do RGCG (RESOLU\c{C}\~AO CEPEC No 1791) ser\~ao apresentadas pelo professor em sala de aula e supervisionadas no hor\'ario de atendimento da disciplina. } \PlanSection{08. Avalia\c{c}\~oes:} { Nas partes 1, 2 e 3 prev\^e-se outras atividades de avalia\c{c}\~ao. Dentre as quais prev\^e-se a solu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios em sala de aula e/ou extra-classe com peso 1 e testes em sala que definir\~ao a pontua\c{c}\~ao a ser recebido por cada estudante relativo a solu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}ciosentregues, com peso de um ponto extra at\'e totalizar ao m\'aximo de 10 pontos referente a cada nota Ni; i = 1; 2; 3; onde $$N_i = 0.1NE_i + 0.9*NP_i + 0.1T_i \leq 10$$As datas das atividades ser\~ao desenvolvidas definidas de acordo com o desenvolvimento da teoria, sendo definidas pelo menos com uma semana de anteced\^encia.Ser\~ao realizadas 3 provas, P1(12/09/25); P2(31/10/25) e P3(12/12/25), cujas datas de realiza\c{c}\~ao poder\~ao sofrer eventuais mudan\c{c}as, caso haja necessidade.A Resolu\c{c}\~ao de Testes constituir\~ao a possibilidade do(a) aluno(a) obter 1,0 ponto extra em cada nota $N_i; i = 1; 2; 3; NE_i$ \'e a m\'edia das notas obtidas na resolu\c{c}\~ao de exerc\'{\i}cios solicitados pela professora at\'e ocorrer a prova $P_i$. A m\'edia final ser\'a dada por: $$MF= \dfrac{3*N_1+4*N2+5*N_3}{12}$$. Se $MF \geq  6 $ e a frequ\^encia, F, do aluno(a) for suficiente ($F \geq  75\%$ do total de horas/aula), este(a) ser\'a declarado(a) aprovado(a). Caso contr\'ario, i.e., se MF < 6 ou $F < 75\%$ \ o(a) \ aluno(a) \ ser\'a \ declarado(a) \ reprovado(a). } \PlanSection{09. Bibliografia:} { \textbf{[1]:} LEITHOLD, L. O c\'alculo com geometria anal\'{\i}tica. 3 ed. V. 2. S\~ao Paulo Harbra, 1994. \textbf{[2]:} GUIDORIZZI, H. L. Um curso de c\'alculo. 5 ed. V. 2 e 3. Rio de Janeiro LTC, 2001. \textbf{[3]:} \'AVILA, G. S. S. C\'alculo das fun\c{c}\~oes de uma vari\'avel. 7 ed. V. 2 e 3. Rio de Janeiro LTC, 2004. \textbf{[4]:} STEWART, J. C\'alculo. 5. ed. V. 2. S\~ao Paulo Pioneira Thomson Learning, 2006. } \PlanSection{10. Bibliografia Complementar:} { \textbf{[1]:} FLEMMING, D. M.; GON\c{C}ALVES, M. B. C\'alculo B fun\c{c}\~oes de V\'arias Vari\'aveis, Integrais M\'ultiplas, Integrais Curvil\'{\i}neas e de Superf\'{\i}cie. S\~ao Paulo Pearson Prentice Hall, 2007. \textbf{[2]:} SWOKOWSKI, E. W. C\'alculo com geometria anal\'{\i}tica. V. 2. S\~ao Paulo McGraw-Hill do Brasil,1983. \textbf{[3]:} HOFFMANN, L. D. et al., C\'alculo um curso moderno e suas aplica\c{c}\~oes. 11 ed. Rio de Janeiro LTC, 2015. \textbf{[4]:} SIMMONS, G. F. C\'alculo com geometria anal\'{\i}tica. V. 2. S\~ao Paulo Pearson Education do Brasil,1987. \textbf{[5]:} REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria anal\'{\i}tica. 2. ed. S\~ao Paulo LTC,1996. } \PlanSection{11. Livros Texto:} { \textbf{[1]:} GUIDORIZZI, H. L. Um curso de c\'alculo. 5 ed. V. 2 e 3. Rio de Janeiro LTC, 2001. (B2) \textbf{[2]:} LEITHOLD, L. O c\'alculo com geometria anal\'{\i}tica. 3 ed. V. 2. S\~ao Paulo Harbra, 1994. (B1) \textbf{[3]:} STEWART, J. C\'alculo. 5. ed. V. 2. S\~ao Paulo Pioneira Thomson Learning, 2006. (B4) } \PlanSection{12. Hor\'arios:} { \begin{center} \begin{small} \begin{tabular}{lll} \hline \textbf{Dia} & \textbf{Hor\'ario} & \textbf{Sala Distribuida}\\ \hline 2$^a$ & T3 & 301, CAA (50)\\ 2$^a$ & T4 & 301, CAA (50)\\ 4$^a$ & T3 & 301, CAA (50)\\ 4$^a$ & T4 & 301, CAA (50)\\ 6$^a$ & T3 & 301, CAA (50)\\ 6$^a$ & T4 & 301, CAA (50)\\ \end{tabular} \end{small}\end{center} } \PlanSection{13. Hor\'ario de Atendimento do(a)s Professor(a):} { \begin{small} \begin{tabular}{ll} \textbf{1. } & A definir\\ \textbf{2. } & A definir\\ \textbf{3. } & A definir\\ \end{tabular} \end{small} } \PlanSection{14. Professor(a):} { \begin{small} \begin{tabular}{lll} Marina Tuyako Mizukoshi. & Email: tuyako@ufg.br, & IME\\ \end{tabular} \end{small} } \vspace{0.2cm} \begin{center} \underline{\hspace{8cm}}\\\small{Prof(a). Marina Tuyako Mizukoshi}\end{center}